一、什么是博弈论？

• 玩家(Players)：博弈的参与者

• 策略(Strategy)：博弈玩家各自的操作

• 收益(Payoff)：博弈玩家的收益，一般用矩阵来表示，在连续（连续代表着规律）的时候也会写成函数。

• 信息(Information)：博弈玩家知道的信息

• 理性(Rationality)：博弈玩家是理性的，在竞争的情况下使自己的收益最大化

二、例子：囚徒困境

两个共谋犯罪的人被关入监狱，不能互相沟通情况。①如果两个人都不揭发对方，则由于证据不确定，每个人都坐牢一年；②若一人揭发，而另一人沉默，则揭发者因为立功而立即获释，沉默者因不合作而入狱十二年；③若互相揭发，则因证据确凿，二者都判刑六年。

1. 玩家：这两个犯罪的人，记为A、B

2. 策略：二者的策略都是{揭发、沉默}

3. 收益：用收益矩阵来表示

三、分类

• 根据玩家数量分为：1人，2人，多人博弈

• 根据“同时做决策”还是“轮流做决策”分为：策略式博弈(静态博弈)和扩展式博弈(动态博弈)、

• 根据信息的了解情况分为：完全信息博弈和非完全信息博弈

• 根据收益分为：零和博弈、非零和博弈

• 合作、非合作博弈

• 根据策略的数量分为：有限博弈和无限博弈

1. 完全信息策略式博弈

2. 非完全信息策略式博弈

3. 完全信息扩展式博弈

4. 非完全信息扩展式博弈

5. 重复博弈

四、小结

1. Nim博弈：有一堆硬币，总个数是N；有2个玩家，轮流取硬币。每次可以选择取1枚或2枚。取到最后一枚硬币的人获胜。请问先手有必胜策略还是后手？(和N有关)
答案：
在Nim博弈中，特别是在这种每次可以取1枚或2枚硬币的简单变体中，可以通过分析硬币的总数 𝑁N 来确定哪一方有必胜策略。
分析
此游戏可以通过分析局面（即剩余硬币数）的胜负情况来决定谁是必胜者。我们可以从基础情况开始，并向上递推：
1. 当 N=1 时，先手直接取走唯一的硬币，即可获胜。
2. 当 N=2 时，先手也可以直接取走两枚硬币，同样直接获胜。
3. 当 N=3 时，无论先手取1枚还是2枚，剩下的硬币数量将使后手处于 N=1 或 N=2 的必胜局面，因此后手必胜。
4. 当 N=4 时，先手可以通过取走1枚或2枚硬币，将后手置于 N=3 的必败局面，因此先手必胜。
5. 对于更大的 N，可以观察到一个规律：若存在一种方式能让当前玩家通过一次移动将对手置于必败局面，则当前玩家处于必胜状态。
 
规律和结论
通过进一步分析，可以发现以下规律：
• 如果 N 是3的倍数，则无论先手取1枚还是2枚，剩下的硬币数仍是3的倍数减1或减2，即使对手处于非3的倍数状态，后手总能通过取1枚或2枚回到3的倍数，使先手回到必败状态。
• 如果 N 不是3的倍数，先手可以通过取1枚或2枚硬币使硬币总数变为3的倍数（通过取 N mod 3 枚），从而使后手处于必败状态。
因此，结论是：
• 如果 N 是3的倍数，则后手有必胜策略。
𝑁
• 如果 N 不是3的倍数，则先手有必胜策略。
𝑁

2. 海盗博弈：这个更有意思一些

• 有五个理性的海盗，P1、 P2、 P3 、P4 和P5，找到了100个金币，需要想办法分配金币。海盗们有严格的等级制度：P1 < P2 < P3 < P4 < P5。

• 海盗世界的分配原则是：等级最高的海盗提出一种分配方案。所有的海盗投票决定是否接受分配，包括提议人。并且在票数相同的情况下，提议人有决定权（提议人有投票权）。如果提议通过，那么海盗们按照提议分配金币。如果没有通过，那么提议人将被扔出船外，然后由下一个最高职位的海盗提出新的分配方案。

• 请问，最终每个人分别会获得多少金币呢？
（提示，重要的不是钱了，而是命，更重点在于P5不会死）
答案：
我认为只有这一种答案（97，0，1，2，0）。（97，0，1，0，2）不成立，P5反正不会死，他可以一直投反对票，这对他最有利。
题主疑问：
但是我认为，假如每个海盗都绝顶聪明。他们能推得后一个人的分配方式也必定能推得前一个人的分配方式。比如3号海盗会以100，0，0分配。那他会知道2号会以98,0,1,1分配。这样自己就没有金币了.所以他会更改自己的分配方式让4号和5号支持自己。那么2号也会更改方案。这样这个问题就会变得非常复杂甚至无解。。。不知道自己哪里想错了。
我觉得题主的问题出在加黑的这句话。题主所说的这个情境，是2号做出分配之前，3号推测出2号98 0 1 1的分配方法，跑去跟4号5号说，咱不同意这个2号的分配呗，一会儿把2干掉我多分你们俩一笔钱。试问4号5号会同意吗？显然不会。在博弈论的考虑范围内，是没有诚信这种概念的，大家都是只考虑利息的理性人。如果4号5号真的跟着3号把2号投票处决了，到了3号分配，此时2号已死，3号会按照承诺分4号5号每人一笔钱吗？说到这儿就很明白了，所谓的3号改变自己的分配方式让4号5号支持自己根本是不可能的，因为在此时2号3号并不是一个公平竞争的关系，3号获得决策权一定要建立在2号被处决的基础上，所以4号5号根本不会理睬此时3号的所谓利诱。
本人接触的第一个博弈论模型就是海盗模型，对这个模型的研究时间最长。在这里给大家分享一下我的研究结果，其中有些部分内容有点脱离了博弈论的内容，希望各位看官见谅。
在此先描述一下海盗模型内容：5个海盗分100金币，先由1号海盗提出分配方案，如果能获得其余半数及以上的赞成票，那么执行此方案，否则将1号处决，由2号提出方案，以此类推。
以下为原答案：
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从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。所以，4号惟有支持3号才能保命。
3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。
不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。
同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。
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上面这个答案应该说答得已经很完美了。海盗模型作为一个博弈论经典模型，是有一些条件的：
1，所有参与的海盗都绝对理性，作出投票的判断和分配的了决策都是为了自己获得的钱尽量多。
2所有的海盗都知道第一条
3所有的海盗都知道第二条
……
下面我要对海盗模型做一些变式：
变式1弃钱保命：假如4号决策时，选择将所有的钱全部分配给5号，5号如何投票？也就是说，对于4号而言，一分钱不拿被处决，和一分钱不拿苟活相比，生命的苟存也是具有价值的。而对于5号而言，同样是拿100金币，是否要让4号活着，对他来说也是有不同的价值的。
我们发现此时按照上面给出的条件5号无法做出决策，因为无论自己同不同意都能拿到100金币。此时我们需要在条件1中加上一句：当获得的金钱同样多时，海盗们会选择让存活的人尽量多/少。
假如海盗们都比较仁慈，在得钱相同时选择让活着的人尽量多，那么5号会同意让4号交出所有的钱而苟活，并且所有人也知道这件事。那么原来的解题过程就会发生变化：3号还是继续按照100 0 0来分配，因为对4号来说，同样是拿0块钱，他会选择让三个人都活下来而同意3号的分配。前面的2号1号在考虑4号时，都只需要给4号0金币，就可以获得4号的支持，因为都是0块钱，活人越多越好嘛！这个条件下4号就成了任人宰割的羔羊了，显然和现实情况不符。
那么更符合实际情况的条件应该是，在得钱相同时，海盗们会选择让活人尽量少。这个条件下，和原先的解题过程基本一致，不再赘述。
变式2以命相搏：变式1还提出一个概念，就是条件1里面增加了一条，就是生命的价值。如果或者拿0金币的收益为0，那么人死了的收益就是负的。此时如果发生了下面的情况，该如何处理：在3号的100 0 0分配之前，4号威胁3号说，你必须给我1块钱，进行99 1 0的分配，否则我就不同意，我们34一起死，让5独得所有的钱。
这个变式的条件打破了设定的条件，如果互相知道彼此都是理性且惜命的，那么3号不会理睬4号的威胁，照样给出100 0 0，你4号为了保命，还是得乖乖同意。但是假如不是理性且惜命呢？3号面对4号以命相搏的威胁，还会不会让出1块钱的利益呢？
这里不是理性且惜命有两种含义。一，各人的惜命程度可能各有不同。例如我们放下海盗的设定，将3号设为一个官员或者企业家，4号设定为一个小混混，小混混觉得自己过得不怎么样，死了算是解脱，不如死前去敲3号一笔。二，我3号知道自己是理性的，但是不知道4号是不是理性的。第二种情况打破了理性人原则，用博弈论的思想已经无法解决了，因为你不知道你面对的是不是一个疯子，决策就根本没法做了，在此我们不去讨论。我们来讨论一下第一种情况。
第一种情况的设定是，3号死亡收益为负数，我们不妨假设为-100，而4号觉得自己死不足惜，甚至算是解脱，4号的死亡收益甚至可以是＋10，那么4号则必须至少拿出11块钱来，才能让这个小混混同意自己。（也遵循变式1中收益相同活人更少的要求。）
像4号这种情愿去死的情况毕竟属于极端情况，那么假如4号的死亡收益没有＋10这么夸张，仅仅是比3号的-100要少，比如为-10，也就是说3号4号都惜命，只不过3号更珍惜一些。此时4号如果威胁3号，那么3号会如何选择？
假如这个博弈是真实发生的，也就是说死亡之后就没有下文了，那么3号还是不会理会4号的威胁，因为4号嘴上说威胁，但是真的面对100 0 0的分配，还是会乖乖同意的。但是如果这个博弈是多次发生的，比如只是一场电脑游戏，可以重复进行，是一个重复博弈，那么4号这样以命相搏的威胁就会有效果了。4号真的会否决100 0 0的分配，这样在下一个博弈的时候3号就不得不重新考虑4号的威胁：如果继续硬刚下去，出100 0 0，那么两个人都是负收益，5号将会渔翁得利，不如放弃一点利益，分4号1块钱，采用99 1 0的分配，让4号同意，自己也能得到99的收益。
4号此时又想，好嘛，既然1块钱能让，那2块钱让不让？如果2块钱能让，10块钱能不能让？99块钱能不能让？100块钱能不能让！
想想这画面就很刺激，在此前一直处于弟弟也位置的4号海盗，突然趾高气昂了起来，仗着自己命不值钱，骑在了3号头上。
以刚才设置的34两人死亡收益分别为-100和-10为例，34两人的威胁关系将在某一个数值达到纳什平衡，这个数值应该是勒索95块钱。因为在5 95 0的分配下，4号如果仍然不满足，而选择反对的话，3和4两人的损失一样多都是105，达到平衡。
在这种重复博弈的情况下，我们可以为每名海盗增加一个参数叫做惜命指数a，意义是该名海盗的死亡收益为-a。我们可以发现，当a3-a4≥100时，4号是真的可以勒索3号100块钱的。同样的当a4-a3≥100时，4号一分钱也勒索不到。在此基础上2号1号的决策就更复杂了，最终1号的决策内容应该是一个关于以a1a2a3a4为变量的函数，跟a5没有关系，因为5号的生命永远不会受到威胁。
这个变式2改变了单次博弈的设定，与原先的海盗模型已经相去甚远了。
变式3情愫暗生：谁规定海盗们就都是大男人呢！假如其中有男有女，并且有恋爱关系呢？那么情况就更加复杂了。
首先是公开恋爱，比如2号和4号公开恋爱，那么2号和4号的考虑内容就不再是自己能够得到的钱尽量多了，而是他们俩加在一起得到的共有财产尽量多。（不考虑变式2中爱人活不活着的问题，也就是说如果处决爱人可以让自己得到比两个人都活着更多的钱，他们也会无情的处决对方。那这么看来他们的感情也不是很牢靠嘛哈哈哈哈）并且由于是公开恋爱，大家也都彼此知道这一情况，其他人做出决策的时候也会考虑这一点。
第二种是不公开的恋爱，比如2号和4号恋爱，两个人都会考虑双方共有财产尽量多，但是其他三个人并不知道这一点。
第三种是暗恋，4号暗恋2号，也就是说4号考虑的是2和4共有财产尽量多，而2号并不知道4号的心意，只会考虑自己拿多少钱，其他三个人更不知道了。
如果让情况更复杂一点，可以让5号成为4号的好兄弟，5号知道自己好兄弟4号的暗恋情结，所以他在考虑4号的行为时会考虑4号的真实想法，而其他几个人只会把4号当做一个莫得感情的搞钱机器。
恋爱关系的加入让原来的海盗模型变得非常的有趣，我这儿就不详细展开了，欢迎大家在评论区讨论！
变式4丛林法则：当分配进行到4号时，之前的考虑都是5号一票否决将4号喂鲨鱼，或者4号放弃所有的钱向5号讨饶。这显然是不符合实际情况的，真实情况应该是4号说只剩我俩活着了我还遵守什么分配规则，谁拳头硬谁拿钱呗！如果“当分配进行到4号时分配规则将不复存在”这一点成为大家的公共信息，海盗模型又会如何变化呢？
我们不妨先假设4和5的拳头一样硬，就是说他们俩谁也干不掉谁，只能把钱一人一半分。这种情况3号就只能选择和45中的一个人分100金币，按照变式1的尽量人少原则，他必须选择49 0 51或者49 51 0的分配方式，才能获得一票同意。他选择给谁51金币的概率应该是五五开，于是2号要想获得4或5的支持，需要支付超过他们获得金币的数学期望值也就是25.5金币。如果说金币是不可分割的，那么2号的分配方式就是48 0 26 26。同理1号的分配将会是72 0 1 27 0或者72 0 1 0 27以获得3和4或者和5的支持。（如果海盗多于5个，那么前面的0号海盗将会提出83 0 1 2 0 14或者83 0 1 2 14 0的分配方案……）
那么如果4号5号的拳头不一样硬呢？比如5号的战斗力比4号强，其实就和最初的情况一样了，就是5号有一票处决4号的能力。或者4号的战斗力比5号强呢？4号有了直接处决5号的能力，其实就是在原题的基础上将4号和5号对调一下而已。 作者：花放处舟不系
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